Большая советская энциклопедия - исчерпывания метод

Исчерпывания метод, метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в. Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C1, C2, ..., Cn, ... так, что Cn < A; (1) предполагают также известным такое В, что Cn < В (2) и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства К (A — Cn) < D, К (В — Cn) < D, (3) где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству А = В (4) достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса — Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = B — А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали К (В — Cn) > К (В — A) > D, что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4). Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C1, C2, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу, Архимед геометрически доказывает, что при любом n Вводя площадь Архимед получает, что и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что